La frontera de posibilidades de producción (FPP) representa la cantidad de producción que se puede obtener de una determinada cantidad de factores de producción utilizando una tecnología dada. Dependiendo de la tecnología, la FPP tendrá una forma u otra.

Como se puede ver en la figura adyacente, esta FPP (curva azul) tiene pendiente descendiente. Esta pendiente, que es igual a la relación marginal de transformación entre X e Y, nos muestra cómo, con el fin de aumentar la salida de X, la cantidad de Y debe disminuir. De hecho, la relación marginal de transformación mide la desventaja de producir más X en términos de Y.

Esta frontera determina la producción máxima (de ambos X e Y) que se pueden obtener dada la tecnología. La producción en el punto A produce más cantidad de Y y menos de X que la producción en el punto B. Sin embargo, ambos son técnicamente eficientes, ya que maximizan la producción total. Por ejemplo, la producción en el punto C es técnicamente ineficiente, ya que podemos reajustar los factores para alcanzar cualquier punto sobre la FPP. Por otro lado, el punto D es inalcanzable dada la tecnología, siendo esta es la razón por la que está fuera de la FPP.

La FPP puede derivarse de la curva de contrato en una caja de Edgeworth. En esta figura, vemos la cantidad de factores (K, L) que se utilizan en la producción de cada bien (X, Y). De hecho, podemos ver cómo, para cada cantidad de cada producto, la cantidad de cada entrada puede cambiar. Las isocuantas (curva verde para X, roja para Y) muestran la cantidad que un factor tiene que aumentar con el fin de compensar la disminución en el otro factor, mantenimiento la cantidad producida inalterada. La pendiente de esta curva es dada por la relación marginal de sustitución técnica de cada bien producido.

Los puntos en los que las isocuantas de diferentes combinaciones de producción se cruzan, que son Pareto-óptimas, nos permiten extraer la curva de contrato, a partir del cual la FPP se puede derivar. Puesto que la tecnología está dada, sólo una FPP puede derivarse de la curva de contrato (en comparación con el caso de la frontera de posibilidades de utilidad).

Las empresas multiproducto son las empresas que producen múltiples bienes, y por lo tanto tienen que lidiar con la asignación de factores de producción más cuidadosamente con el fin de alcanzar mayores niveles de producción. Este es un problema mayor al que se enfrentan las empresas de uno solo producto, el problema de maximización de producción, ya que las empresas multiproducto deben asignar sus factores no sólo para producir un bien, sino múltiples bienes.

El análisis de la producción se puede ampliar para incluir empresas multiproducto, como se puede derivar del artículo de F. Y. Edgeworth » Mathematical Psychics” (Psíquica matemática), de 1881. En este caso, una empresa produce dos bienes, X e Y, usando los mismos dos factores, L y K, y sujeto a las siguientes restricciones:

En esta primera figura, que se conoce como caja de Edgeworth, si tomamos A como punto de partida, podemos ver que está lejos de ser una producción óptima, ya que podíamos aumentar nuestra producción de X manteniendo al mismo tiempo la producción de Y constante al pasar de producir en A a B, o mantener X constante, mientras que aumentamos la producción de Y moviéndonos al punto C. Estos puntos óptimos pertenecen a la curva de contrato, a lo largo de la cual la producción es eficiente. A lo largo de todos estos puntos, la relación marginal de sustitución técnica de ambos productos es la misma: RMST_X = RMST_Y.

De esta caja de Edgeworth y, más precisamente, de la curva de contrato que considera todos los niveles de producción eficientes, podemos derivar la frontera de posibilidades de producción (FPP), que se muestra en la segunda figura. Esta es sólo otra manera de mirar el mismo problema: cómo asignar mejor los recursos con el fin de obtener el máximo rendimiento posible. Sin embargo, mediante el uso de la FPP, nos concentramos más en las cantidades que se producen, en lugar de los factores de producción que se utilizan.

Por supuesto, lo que falta aquí para completar el análisis sería el coste de los dos factores y cuánto se requiere para producir cada tipo de bien. En este caso, mediante la utilización del precio de venta de cada uno, tendríamos un problema de optimización cerrado que seríamos capaces de resolver analíticamente, al determinar una función de producción eficiente que podría optimizar la relación entre la producción de un bien a otro.

Una isocuanta muestra las diferentes combinaciones de K y L que producen una cierta cantidad de un bien o servicio. Matemáticamente, una isocuanta muestra lo siguiente:

f (K,L) = q₀

Gráficamente, la forma de una isocuanta dependerá del tipo de bien o servicio que estamos analizando. La forma de la isocuanta también está relacionada con los términos relación marginal de sustitución técnica (RMST) y los rendimientos a escala.

El primer ejemplo de mapa de isocuantas en el gráfico adyacente es la representación más común. Muestra cuatro isocuantas convexas (verde), y cada curva muestra la cantidad de capital K el productor puede dejar de aplicar al aumentar la cantidad de trabajo L, mientras se mantiene constante la cantidad producida. Esta relación nos da las RMST entre estos factores productivos, que es la pendiente de la curva en cada uno de sus puntos.

Nuestro segundo ejemplo es un mapa de isocuantas con cuatro líneas paralelas (azul). Este es el caso de factores productivos que son sustitutivos perfectos, ya que las líneas son paralelas y la RMST = 1, y por tanto la pendiente tiene un ángulo de 45º con cada eje. También puede pasar que los factores sean sustitutivos perfectos, pero en diferentes proporciones. En ese caso, la pendiente será diferente y la RMST se puede definir como una fracción, tal como 1/2, 1/3, y así sucesivamente. Para sustitutivos perfectos, la RMST siempre permanecerá constante.

Nuestro tercer ejemplo muestra un mapa de isocuantas con cuatro isocuantas (rojo) que representan factores complementarios perfectos. Esto es, no habrá un aumento en la cantidad producida a menos que ambos factores aumenten en la proporción requerida. El mejor ejemplo de factores complementarios son palas y excavadores, ya que la cantidad de agujeros no van a aumentar cuando hay palas adicionales sin excavadores para usarlas. Observamos que los codos son colineales, y la línea que los cruza define la proporción en la que cada entrada tiene que aumentar con el fin de tener un aumento en la producción. En este caso el fragmento horizontal de cada isocuanta tiene una RMST = 0 y las fracciones verticales una RMST = ∞.

Las isoclinas son líneas que unen las diferentes regiones de producción. Una vez definidos y decididos los niveles óptimos de K y L que necesitamos para producir las diferentes cantidades, la línea que pasa a través de estos niveles óptimos es la isoclina (azul). En otras palabras, es la línea que une los puntos donde la RMST de cada isocuanta es constante:

La relación marginal de sustitución técnica (RMST) se puede definir como, manteniendo constante la producción total, la cantidad de factor de producción 1 que tiene que disminuir si el factor de producción 2 aumenta en una unidad. En otras palabras, muestra la relación entre los factores y como se compensan, sin cambiar el nivel de la producción total. Cuando se utilizan factores comunes como el capital (K) o el trabajo (L), la RMST se puede obtener usando la siguiente fórmula:

La RMST es igual a la pendiente de isocuantas. En la figura adyacente se puede ver tres de los tipos más comunes de isocuantas.

El primero tiene una RMST que cambia a lo largo de la curva, y tenderá a cero cuando la cantidad de trabajo disminuye, y a infinito cuando la cantidad de capital disminuye.

En la segunda gráfica, ambos factores son sustitutivos perfectos, ya que las líneas son paralelas y la RMST = 1, lo que hace que la pendiente tenga un ángulo de 45º con cada eje. En función de los factores sustitutivos que elijamos, la pendiente será una u otra y la RMST se puede definir como una fracción, tal como 1/2, 1/3, y así sucesivamente. Para sustitutivos perfectos, la RMST siempre permanecerá constante.

Por último, el tercer gráfico representa factores complementarios. En este caso el fragmento horizontal de cada isocuanta tiene una RMST = 0 y el fragmento vertical una RMST = ∞.

No debe confundirse con: relación marginal de sustitución y la relación marginal de transformación.

Video – La relación marginal de sustitución técnica:

La región económica de producción muestra las combinaciones de factores con un cierto coste que tienen sentido económico. Las zonas fuera de la región económica de producción implican que al menos uno de los factores tiene productividad marginal negativa. Esta región se caracteriza por lo que se denominan líneas de contorno, que son simplemente los límites más allá de los cuales uno de los factores está siendo usado en exceso. Por lo tanto, fuera de la región económica de producción, existe una clara ineficiencia, y la empresa estaría mejor usando menos de uno de los dos factores, lo que disminuiría los costes mientras se mantiene la cantidad de producción constante. Gráficamente:

Una función de producción muestra cuánto se puede producir con un cierta cantidad de recursos. Por lo general, cuando analizamos la producción, suponemos que hay dos factores que intervienen en esta: el capital (K) y trabajo (L). Esto nos permite realizar representaciones gráficas de isocuantas. Sin embargo, cualquier análisis realizado con 2 factores de producción puede extenderse matemáticamente a n factores.

Por lo tanto, una función de producción se puede expresar como Q = f (K, L), lo que simplemente significa que q (cantidad producida) es una función de la cantidad de capital y el trabajo invertido. En la figura adyacente, qx es la función de un solo factor, mano de obra, y se puede representar gráficamente, aquí en verde.

Merece la pena introducir aquí otro concepto: la productividad marginal, que es la cantidad adicional que podríamos producir mediante el uso de una unidad más de uno de los factores. Como es lógico, esto dependerá de la forma en que estamos empleando los factores que ya tenemos. El producto marginal es la derivada parcial de la función de producción con respecto al factor que estamos analizando:

La productividad marginal disminuye con cada unidad adicional, como se puede ver en la figura de arriba (en azul). En un momento determinado, cuantos más trabajadores se empleen, por ejemplo, cada trabajador adicional será más redundante si no se invierte en otros factores necesarios. Esto es lo mismo que decir que la segunda derivada es negativa. En ese punto (A en la figura), la producción está en su máximo de eficiencia.

Las líneas isocoste muestran combinaciones de factores productivos que cuestan lo mismo. Representa el mismo concepto que la restricción presupuestaria cuando se analiza el consumo. Matemáticamente, pueden expresarse como:

rK + wL = C

Donde r es el coste de capital y w es el coste de la mano de obra. En general, pensamos en r como la tasa de interés que los mercados financieros ofrecen, puesto que se requiere inversión. Incluso si el capital puede ser pagado usando los recursos propios de la empresa, r es equivalente al coste de oportunidad de tener el dinero invertido en inversiones fijas, en lugar de en activos líquidos que ofrecen un retorno (r) prestando a los mercados. El coste de mano de obra (w) es el salario pagado a los empleados por cada unidad de tiempo.

Las líneas isocoste suelen estar representadas gráficamente junto con las líneas isocuantas (que son combinaciones de factores productivos que producen una misma cantidad de bienes). Ambas tienen un punto de tangencia, que determina la producción óptima (donde la producción se maximiza, o donde se minimiza el coste).

Vídeo – Isocoste:

La maximización de la producción debe ser vista como un problema de optimización con respecto a la función de producción, representada por isocuantas, y una limitación en cuanto a los costes de producción, representados por una línea isocoste.

Los productores se enfrentan por tanto con el siguiente problema: frente a un conjunto de posibles niveles de producción y un presupuesto dado, ¿cómo elegir el nivel que maximiza su producción.

Si conocemos la función de producción de un determinado productor, y sabemos su presupuesto, tenemos las dos restricciones necesarias para maximizar su producción. Esto se puede hacer de forma gráfica, con el punto donde la isocoste y la isocuanta son tangentes y definen un óptimo, como se muestra en la figura adyacente.

Se puede también hacer matemáticamente, a través de una función de Lagrange, donde las primeras derivadas determinan un sistema de ecuaciones que se pueden resolver mediante la aplicación de nuestra función de producción a la restricción dada por el presupuesto:

La minimización del coste es una forma de resolver el problema de optimización dada una función de utilidad y una restricción presupuestaria, aunque la forma más típica de hacerlo es mediante la maximización de la utilidad.

Si lo pensamos, en general no tenemos un presupuesto fijo para las compras. Tenemos una utilidad específica que esperamos obtener y esperamos gastar lo mínimo posible para obtenerla (pero no tenemos un presupuesto máximo).

En este caso, es la utilidad la que queda como una restricción, y el coste el elemento con el que podemos operar. Es como resolver el problema de elección del consumidor de forma similar a la maximización de la utilidad. Además, la minimización de coste está asociada con las curvas de demanda hicksianas.

La forma de resolver este problema de minimización es muy parecida a la de maximización de la utilidad, también se resuelve con un sistema lagrangiano, ya que existe una dualidad en el consumo. En este caso, queremos minimizar nuestro presupuesto para una utilidad dada:

Al igual que en la teoría del consumidor (donde se analiza la dualidad consumo), la decisión de la empresa sobre sus factores de producción tiene una naturaleza dual. La búsqueda de los niveles óptimos de factores, no sólo puede ser visto como una cuestión de elegir la línea isocoste más baja tangente a la isocuanta de producción (como se ve cuando se minimizan los costes), sino también como la elección de la isocuanta más alta tangente a una línea isocoste dada (maximización de la producción). En otras palabras, teniendo una función de coste que establece una restricción presupuestaria, buscar la asignación de factores de producción que proporciona la producción más alta.

La manera de resolver estos problemas es muy similar: buscamos la función de Lagrange y obtenemos las condiciones de primer orden, y luego resolvemos el sistema.