La teoría de la preferencia revelada se atribuye a Paul Samuelson en su artículo “Consumption Theory in Terms of Revealed Preference” (Teoría del consumo en términos de preferencia revelada) de 1948. La teoría del consumidor se basa en la existencia de preferencias que se materializan en funciones de utilidad. Estas funciones de utilidad son maximizadas por los consumidores sujetos a una restricción presupuestaria. El problema es que resulta difícil aceptar que los individuos realmente tienen una fórmula matemática definida en la mente a la hora de decidir entre diferentes opciones. Lo que la teoría de la preferencia revelada hace es trabajar al revés para establecer que podemos deducir estas funciones de utilidad desde el comportamiento del consumidor. Analizando estas opciones, procedemos hacia atrás hasta conseguir un conjunto de preferencias que influyan en las decisiones que tomamos como consumidores. Por tanto, permite a los economistas estudiar el comportamiento del consumidor empíricamente.

Existen dos principios en la teoría basados en la completitud y la transitividad:

Axioma débil de preferencia revelada (WARP, por sus siglas en inglés): si A se revela preferido a B (A RP B), entonces debe serlo en todos los casos. Entonces, si un consumidor siempre elige B, debemos asumir que eligió A anteriormente y que “sobraba” suficiente presupuesto para permitir al consumidor elegir B también.

Axioma fuerte de preferencia revelada (SARP, por sus siglas en inglés): este axioma añade transitividad. Si solo hay dos bienes, está claro que WARP define la elección del consumidor: A sobre B. Sin embargo, el SARP añade la idea de preferencias reveladas indirectamente: si A se elige sobre B, y B sobre C, el SARP y la transitividad dictan que A entonces también es preferible sobre C, por lo que A se revela indirectamente preferido a C (A R* C). Esto reduce drásticamente la cantidad de pruebas empíricas necesarias para definir las preferencias del consumidor.

En el caso mostrado en la figura siguiente, sabemos que C es indirectamente preferido a B (C R* B) porque nos permite alcanzar una curva de utilidad más alta. Dado que C y B definen un espacio (R*), y sabemos que C, B y A están contenidos dentro de R*(R*{(C,B)}), entonces podemos decir que C RP A RP B, esto es, al observar que C es indirectamente preferido a B, podemos decir que C es una preferencia revelada sobre A (C RP A), y que A es una preferencia revelada sobre B (A RP B).

Si pensamos en A, B y C como un conjunto de bienes infinitamente complejo, podemos plasmar todas las elecciones del consumidor. En teoría, podemos proceder hacia atrás para construir funciones de utilidad si tuviésemos acceso a información ilimitada. Sin necesidad de tener que hacer esto, podemos añadir información de consumidores para descubrir verdades generales sobre preferencias de ciertos segmentos de población.

La teoría de la demanda de características establece que los consumidores obtienen la utilidad no de los contenidos de la cesta de bienes, sino de las características de los bienes que se encuentran en ella. Esta teoría fue desarrollada por Kelvin Lancaster en 1966 en su artículo “A New Approach to Consumer Theory” (Una nuevo enfoque a la teoría del consumidor).

Este enfoque nos permite predecir cómo las preferencias cambiarán cuando cambiemos las opciones o cestas presentadas a los consumidores mediante el estudio de cómo cambian en función de los cambios en las características presentes en los bienes. En la teoría convencional, la introducción de una nueva opción implica que no podemos predecir con seguridad cómo podría encajar en el mapa de preferencias del consumidor. Sin embargo, basándonos en un estudio de las características más que en los bienes o servicios implícitos, podemos predecir cómo los cambios afectarán al comportamiento del consumidor sin necesidad de empezar otro proceso empírico.

Esto nos permite calcular ‘precios sombra’ para diferentes atributos, sin tener un precio para el bien en sí, asociando la utilidad a las características que conforman el bien, más que al bien en sí. Con estos ‘precios sombra’ podemos resolver los problemas de maximización de la utilidad para cestas u opciones en las que no tenemos pruebas empíricas, ya que la demanda de Lancaster también se presta a la construcción de las funciones de utilidad, basadas en la cantidad de cada atributo más que en la cantidad de cada tipo de bien en una cesta concreta.

La teoría de la demanda de características también ayuda a justificar la existencia de marcas. Las marcas de lujo son capaces de fijar un precio mayor para sus productos diferenciándose de competidores que vendan bienes similares. En el primer gráfico, si suponemos que ambas marcas tienen las mismas características (o atributos) y son competidores, elegiremos la cesta que maximice nuestro consumo total. Esto significa que tenderemos a optar a la marca más barata, lo que nos permite alcanzar la curva de utilidad más alta: para una cantidad dada de dinero, somos capaces de comprar tanto una cierta cantidad de la marca 1 (punto B), como una cierta cantidad de la marca 2 (punto A). Elegiremos A al estar en una curva de indiferencia más alta. El punto C representa una curva de utilidad mayor alcanzada debido a una bajada de precio de la marca 1. Sin embargo, aunque la marca 1 se haya vuelto más barata, seguiremos consumiendo A, ya que sigue estando en una curva de indiferencia más alta.

En el segundo gráfico, si analizamos la demanda de Lancaster, nuestras funciones de utilidad estarán basadas en los atributos que cada cesta contenga más que en la cantidad de cada tipo de bien. Aquí ya no es “todo o nada” – podemos optar por curvas de demanda convexas que representen nuestras preferencias por la variedad en el consumo: el punto C. Esta vez, si el precio de una marca baja, cambiaremos nuestra decisión: podemos optar por el punto D.

Las demandas marshalianas y hicksianas derivan de dos formas de mirar el mismo problema – cómo obtener la utilidad que deseamos con el presupuesto que tenemos. La dualidad del consumo define este problema como dos caras de la misma moneda: manteniendo nuestra presupuesto fijo y maximizando la utilidad (demanda primal, lo que nos lleva a las curvas de demanda marshaliana) o fijando un nivel a alcanzar de utilidad y minimizando el coste asociado (demanda dual, que nos da las curvas de demanda hicksiana). Debemos también mirar las funciones lagrangianas de las que obtenemos las primeras derivadas.

Esto nos lleva a la principal diferencia entre los dos tipos de demanda: las curvas de demanda marshaliana simplemente muestran la relación entre el precio de un bien y la cantidad demanda del mismo. Las curvas de demanda hicksianas muestran la relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada del mismo asumiendo que los precios de los otros bienes y nuestro nivel de utilidad se mantienen constantes. Esto cobra sentido cuando observamos la dualidad en el consumo: para la demanda dual (hicksiana), mantenemos un nivel fijo de utilidad, por lo que también un nivel fijo de renta, o ingreso, que debe permanecer constante. Simplemente no podemos estar tan satisfechos como si no tuviéramos el mismo poder de compra.

Las curvas de demanda marshaliana y hicksiana se cruzan allí donde la cantidad demandada es igual para ambas situaciones del problema de elección del consumidor (maximizando la utilidad o minimizando el coste). Para precios por encima de este punto de equilibrio, la riqueza del consumidor es mayor con las curvas de demanda hicksiana que con las curvas de demanda marshaliana porque, para mantener la utilidad constante, las curvas de demanda hicksianas establecen que el bienestar real permanece invariable. La demanda marshaliana solo establece que el bienestar nominal permanece igual. Lo opuesto pasa para los precios inferiores a este punto: la demanda marshaliana establece que el bienestar nominal es el mismo mientras que el precio baja (inflación negativa), el consumidor está en mejor posición. La demanda hicksiana establece que el bienestar real es constante, así que el individuo está en peor posición. Esta es la razón por la que las curvas de demanda marshalianas son más “estables”: reflejan tanto el efecto renta como el efecto sustitución. Las curvas de demanda hicksiana solo muestran efectos sustitución (la utilidad es constante, por lo que la renta debe permanecer constante también), lo que significa que la demanda varía solo con el precio porque otras opciones se vuelven más atractivas.

Formalmente,

Para un problema individual, las obtenemos de condiciones de primer orden (maximizando las primeras derivadas) de la función lagrangiana, ya sea para el problema primal o el dual.

La demanda marshaliana tiene más sentido si observamos los bienes y servicios que conforman gran parte de nuestros gastos. En esta situación, el efecto renta es enorme. Sin embargo, para compras menores, esperamos gastar más o menos cualquier cantidad mientras que obtengamos la utilidad deseada.

Generalmente, si el precio de algo baja, tendemos a comprarlo más. Esto es debido a dos efectos:

• Efecto renta: como es más barato, tenemos más poder de compra al ser una pérdida menor de nuestras finanzas personales.
• Efecto sustitución: como ofrece más utilidad por unidad monetaria, las otras alternativas se vuelven menos atractivas.

Lo que Eugene Slutsky consiguió era una ecuación que descompusiera este efecto basado en las curvas de demanda hicksiana y marshaliana.

Gráficamente:

Matemáticamente, está basado en las derivadas de las demandas marshalianas y hicksianas:

El lado izquierdo de la ecuación es el efecto total – que es la derivada de x (cantidad) respecto de p (precio). Muestra qué parte de la cantidad total que consumimos de x varía cuando alteramos el precio. La siguiente parte es el efecto sustitución – qué parte de la variación es debida a nuestra búsqueda de opciones similares. Se obtiene de la derivada de la demanda hicksiana respecto del precio. El lado derecho es el efecto renta, que muestra cómo los cambios en nuestro poder de compra afectan a la cantidad que consumimos de un bien específico. Es la derivada de la demanda marshaliana respecto de la renta (multiplicado por la cantidad).

Ya sea el efecto renta o el efecto sustitución positivos o negativos cuando los precios suban, dependerá del tipo de bien:

No siempre se puede decir cómo será el efecto total – si hablamos de bienes inferiores complementarios, por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto renta tirarán en direcciones opuestas. El efecto total dependerá en qué efecto tenga más fuerza.

La minimización del coste es una forma de resolver el problema de optimización dada una función de utilidad y una restricción presupuestaria, aunque la forma más típica de hacerlo es mediante la maximización de la utilidad.

Si lo pensamos, en general no tenemos un presupuesto fijo para las compras. Tenemos una utilidad específica que esperamos obtener y esperamos gastar lo mínimo posible para obtenerla (pero no tenemos un presupuesto máximo).

En este caso, es la utilidad la que queda como una restricción, y el coste el elemento con el que podemos operar. Es como resolver el problema de elección del consumidor de forma similar a la maximización de la utilidad. Además, la minimización de coste está asociada con las curvas de demanda hicksianas.

La forma de resolver este problema de minimización es muy parecida a la de maximización de la utilidad, también se resuelve con un sistema lagrangiano, ya que existe una dualidad en el consumo. En este caso, queremos minimizar nuestro presupuesto para una utilidad dada:

Hay dos formas de resolver el problema de decisión del consumidor. Podemos tanto fijar un presupuesto y obtener la máxima utilidad (demanda primal) o fijar un nivel de utilidad que queremos alcanzar y minimizar el coste (demanda dual).

La forma de resolver cada problema es muy similar: buscamos la función lagrangiana y obtenemos lascondiciones de primer orden, entonces resolvemos el sistema.
Cuando trabajemos con la demanda primal, es decir, maximización de utilidad, nuestra función lagrangiana será:
sujeto a
Por lo tanto:
Es decir, la función lagrangiana es nuestra función de utilidad, que depende de x1, x2 , menos la restricción presupuestaria. Las condiciones de primer orden (que obtenemos de las primeras derivadas) nos dan las curvas de demanda marshaliana.
Cuando trabajemos con la demanda dual, es decir, minimización del coste, nuestro sistema lagrangiano será:
sujeto a
Por lo tanto:
Es decir, la función lagrangiana es nuestra función de coste, que depende de x1, x2 , menos la función de utilidad, que debe ser igual a una constante. Las condiciones de primer orden nos dan las curvas de demanda hicksiana.

Los índices de precios se utilizan para monitorizar los niveles del precio a lo largo del tiempo. Resulta útil cuando separamos ingreso real de ingreso nominal, al ser la inflación una bajada en el poder adquisitivo. Los dos índices básicos son el índice de Laspeyres (llamado así por Etienne Laspeyres) y el índice de Paasche (llamado así por Hermann Paasche).

Ambos índices son muy parecidos:

Ambos funcionan dividiendo el gasto de una cesta específica en el tiempo actual (la operación de p*q para cada producto de la cesta es considerado para calcular el índice) por cuánto costaría la misma cesta en el período base (período 0). La principal diferencia son las cantidades utilizadas: el índice de Laspeyres usa cantidades q₀, mientras que el índice de Paasche utilizada cantidades de período n.

Esto se traduce en que un índice de Laspeyres de 1 implica que, como el numerador es igual al denominador, un individuo puede permitirse comprar una cesta de bienes en el período actual, tal y como hizo en el período base. Como las cantidades son las mismas, esto deja al precio como una variable, que debe permanecer inalterada. Esto se traslada al concepto de variación compensada (VC): ¿Cuánto debemos incrementar el ingreso de un individuo para compensar la inflación? Esto es, al nuevo nivel de precios, ¿cuánto se necesita para compensar el efecto de la subida de precio? En el gráfico superior, vemos que un incremento en el precio de x₁ implica moverse hacia a una curva de utilidad menor. La variación compensada es la cantidad teórica de dinero que el individuo necesitaría para mantener su nivel de utilidad, volviéndolo a situar en la curva de utilidad original.

Lo que también podemos apreciar es que el índice de Laspeyres sobreestima esta VC: establece que la inflación tiene un efecto mayor que el que realmente tiene. Esto lo podemos ver más claramente en el gráfico inferior. El cambio del precio de P₀ a P₁ lleva a un cambio en la cantidad consumida de X de X₀ a X₁. El rectángulo verde muestra el efecto de Laspeyres asociado a esto, que es mayor que el efecto VC. El efecto EC, el trapezoide azul oscuro, muestra la pérdida del excedente del consumidor asociada a la variación del precio.

Un índice de Paasche de 1 implicará que el consumidor podría haberse permitido el mismo conjunto de bienes en el año base, así como puede ahora. Esto puede ser trasladado al concepto de variación equivalente (VE): ¿Cuánto ingreso deberíamos quitarle a un individuo, al nivel de precio base, para tener el mismo impacto en su utilidad que la inflación entre el período base y el período 1? Esto es, si cogiésemos la utilidad del individuo en 2009 a ese nivel de precio, ¿cuánto deberíamos quitarle para tener la misma utilidad que una persona con el mismo ingreso pero a los niveles de precio actuales? Aplicando la misma dinámica que hemos usado en el índice de Laspeyres, podemos ver como en el gráfico superior el índice de Paasche subestima la variación equivalente.

Podemos ver esto más claro en el diagrama de abajo: el excedente del consumidor es mayor que la variación equivalente, que es mayor que el efecto Paasche.

Si ponemos todo junto, resulta más fácil comprender cada efecto y sus desventajas: estos diagramas son una simple combinación de los dos de arriba. Nos ayudan a ver las diferencias entre los dos índices. La principal desventaja de estos índices es el hecho de que no toman en cuenta los efectos sustitución. Cuando el precio de algo sube, tendemos a consumir menos de ello. Dado que el índice de Laspeyres usa cantidades de período base, tiende a sobreestimar la inflación al asumir que los gastos de los individuos siguen distribuidos de la misma manera. Y viceversa con el índice de Paasche: al usar cantidades de período actual, subestima la inflación.

Por tanto, para bienes normales, si hay inflación, tendremos:

L > VC > EC > VE > P

Debemos ver la maximización de la utilidad como un problema de optimización dada una función de utilidad y una restricción presupuestaria. Estos dos lados del problema definen las curvas de demanda marshalianas.

Por tanto, un individuo se encuentra con el siguiente problema: dado un conjunto de opciones, o cesta de bienes, y una renta fija, ¿cómo elegir la cesta que maximizará su utilidad?

Si conocemos la función de utilidad de un individuo, y conocemos su presupuesto, tenemos las dos restricciones necesarias para maximizar su utilidad. Podemos hacer esto gráficamente, con el punto donde la restricción presupuestaria y la función de utilidad se encuentren, dando lugar a un óptimo (como se ve en la figura adyacente).

También puede ser resuelto matemáticamente mediante una función lagrangiana, donde la primera derivada determina un sistema de ecuaciones que puede ser resuelto sustituyendo nuestra función de utilidad en la restricción dada por la renta:

El comportamiento del consumidor es un problema de maximización, es decir, debemos sacar el máximo partido a unos recursos limitados para maximizar la utilidad. Como los consumidores somos teóricamente insaciables, y las funciones de utilidad crecen con la cantidad, lo único que limita nuestro consumo es la renta (asumiendo que tratamos con bienes normales, no negativos o dañinos con los que queramos limitar el consumo).

La restricción presupuestaria (la recta verde en la figura de la derecha) corresponde a una de las dos partes del problema de maximización. Necesitamos equilibrar la utilidad que extraemos del consumo con la renta que poseamos, que corresponde a nuestra restricción presupuestaria.

Suponiendo que tenemos una elección entre dos bienes (1 y 2), nuestra restricción presupuestaria será:

lo que simplemente indica que nuestra renta debe ser al menos tan alta como la suma de la cantidad consumida de cada bien, multiplicada por su el precio de cada bien.

Esto demuestra que nuestro consumo se encuentra acotado y que cuanto más gastemos en un bien, menos podremos gastar en el otro.

Las curvas de indiferencia son líneas en un sistema de coordenadas, en las que cada uno de sus puntos indica una combinación particular de un conjunto de bienes que al consumidor le es indiferente consumir. Es decir, el consumidor no tendrá ninguna preferencia entre dos conjuntos situados en la misma curva de indiferencia, ya que todos aportan el mismo grado de utilidad. Según desplacemos las curvas de indiferencia, alejándolas del origen de coordenadas, incrementaremos el consumo y, por tanto, incrementaremos también el nivel de utilidad.

Un mapa de indiferencia es una combinación de curvas de indiferencia que nos ayuda a entender cómo los cambios en la cantidad o tipo de bien pueden alterar los patrones de consumo.

Francis Y. Edgeworth desarrolló las matemáticas en relación con el dibujo de las curvas de indiferencia en su libro “Mathematical Psychics: an Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences” (Matemática psicológica: ensayo sobre la aplicación de las matemáticas en las ciencias morales), publicado en 1881 y basado en trabajos anteriores de William Stanley Jevons. Sin embargo, fue Vilfredo Pareto el primer economista en dibujar mapas de indiferencia, tal y como los conocemos hoy en día, en su libro “Manual de Economía Política”, publicado en 1906.

El primer ejemplo que veremos de un mapa de indiferencia (mostrado en el gráfico adyacente) es la representación más común, y muestra cuatro curvas de indiferencia convexas (en rojo). Cada curva indica a qué cantidad de bien (o conjunto de bienes) x₁ debe renunciar el consumidor para ser capaz de consumir más bienes (o conjunto de bienes) x₂. Esta relación es la llamada relación marginal de sustitución (RMS) entre estos bienes, que no es otra que la pendiente de la curva en cada uno de sus puntos.

Nuestro segundo ejemplo es un mapa de indiferencia con cuatro rectas paralelas (en verde). Este supuesto es para bienes (o conjunto de bienes) y₁ e y₂, que son sustitutivos perfectos. Los trazos son paralelos y su RMS = 1, y por tanto su pendiente tiene un ángulo de 45º con cada eje. También podemos tener el caso de bienes sustitutivos, pero en diferentes proporciones. En ese caso, la pendiente sería diferente y la RMS quedaría definida como una fracción: 1/2 ,1/3… Para sustitutivos perfectos, la RMS permanecerá constante.

El tercer ejemplo muestra un mapa con cuatro curvas de indiferencia (en azul) que representan bienes perfectamente complementarios, z₁ y z₂. En este tipo de bienes, para que haya un incremento en la utilidad del consumidor, ambos bienes deben crecer en la proporción necesaria. El mejor ejemplo de bienes complementarios son los zapatos, ya que solo se incrementará la utilidad del consumidor cuando tenga el par de zapatos, y no cuando tenga solo el de un pie. Podemos observar que las esquinas están alineadas, y la línea que las cruza define la proporción en la que cada bien necesita aumentar para que exista un incremento en la utilidad. En este caso, el segmento horizontal de cada curva de indiferencia tiene una RMS = 0, mientras que el segmento vertical tiene una RMS = ∞.

Esta definición sobre las curvas de indiferencia también puede aplicarse en la producción. En ese caso, la RMS se convierte en la relación marginal de sustitución técnica y la relación marginal de transformación.