Riesgo e incertidumbre I: Paradoja de San Petersburgo

La paradoja de St. Petersburg, es un juego teórico usado en economía para representar un ejemplo clásico donde, teniendo en cuenta solamente el valor esperado como el único criterio de decisión, el encargado de la toma de decisiones estará equivocado y tomará una decisión irracional. Esta paradoja fue presentada y resuelta en «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» de Daniel Bernoulli (traducido como «Exposición de una nueva teoría en la medición de riesgo»), publicado en 1738. Bernoulli solucionó la paradoja haciendo la distinción entre valor esperado y utilidad esperada, ya que esta última utiliza la utilidad multiplicada por las probabilidades, en lugar de utilizar los resultados ponderados. Sin embargo, desde entonces, se han utilizado enfoques alternativos por diversas investigaciones para responder a esta paradoja.

La clave de la paradoja es determinar el valor que alguien estaría dispuesto a pagar para jugar a un juego de lotería que funciona así: una moneda es lanzada, y si la cara aparece, al jugador se le paga $2 (el monto pagado para jugar es $1); si sale cruz, la moneda se lanza otra vez, hasta que la cara aparezca, duplicando la ganancia inicial cada vez que la moneda se lanza. Por ejemplo, para el sorteo número 3 (n = 3), el beneficio sería 8 (2n) y el valor esperado, que aquí equivale a la recompensa multiplicada por la probabilidad (aquí, 1).

La probabilidad de que la primera cola aparezca en el lanzamiento número n es igual a p_n = 1/2ⁿ, siendo 2ⁿ el beneficio. Por lo tanto, el valor esperado de n lanzamientos sería:

Si usamos el valor esperado como criterio de decisión, el jugador debería estar dispuesto a pagar $∞ para jugar. Sin embargo, ningún individuo racional aceptaría esto. Para Bernoulli, la respuesta se basó en el uso de la máxima utilidad esperada en lugar del máximo valor esperado:

Por otra parte, Bernoulli indicó que la utilidad se incrementará con la riqueza del jugador (ya que él o ella tendría más dinero para jugar) y disminuirá la utilidad marginal.

La solución de Bernoulli a la paradoja de San Petersburgo, aunque simple y concisa, posteriormente fue mucho más discutida y criticada por otros economistas. Knut Wicksell la utilizó para desarrollar las comparaciones interpersonales, mientras que Francis Y. Edgeworth criticó su función de utilidad logarítmica. Vilfredo Pareto sustituyó en su análisis de la paradoja, riqueza por consumo, y Alfred Marshall la sustituyó por ingresos.

El análisis de Alfred Marshall, en su libro » Principles of Economics” (Principios de economía), publicado en 1890, es de gran interés porque: simplemente mediante la sustitución de riqueza por renta, cambian las principales conclusiones y la solución de la paradoja. Marshall explica cómo, al asumir la disminución de la utilidad marginal, ningún individuo racional jugaría al juego ya que las pérdidas serían mayores que las ganancias. Por ejemplo, como se muestra en la figura adyacente, digamos que la probabilidad de ganar es igual a la probabilidad de perder el juego. Si un jugador pierde, él o ella perderá el dinero pagado para jugar al juego (x-1); si él o ella gana, el jugador gana exactamente la cantidad que pagó (x +1). Puesto que el área A es mayor que B, debido a la utilidad marginal decreciente, ningún jugador racional jugaría.

Como dice Alfred Marshall:

«El empleado con un sueldo de £100 al año caminará a su trabajo con una lluvia mucho más pesada que el empleado que gana £ 300 anuales; el coste de un paseo en tranvía o en ómnibus tiene un mayor beneficio para el hombre más pobre que para el más rico. Si el hombre más pobre gasta el dinero, va a sufrir más de la falta de este que la falta de este por el hombre más rico. El beneficio que se mide en la mente del hombre pobre por el coseo es mayor que el medido en la mente del hombre más rico».