En la guerra de los sexos, una pareja discute sobre qué hacer el fin de semana. Ambos saben que quieren pasar el fin de semana juntos, pero no se ponen de acuerdo sobre qué hacer. El hombre prefiere ir a ver un combate de boxeo, mientras que la mujer quiere ir de compras. Este es un ejemplo clásico de un juego de coordinación, analizado en la teoría de juegos por sus aplicaciones en muchos campos, tales como la gestión de empresas u operaciones militares.

Dado que la pareja quiere pasar tiempo juntos, si van a sitios diferentes, no recibirán ninguna utilidad (el conjunto de pagos será 0,0). Si van de compras o bien a un combate de boxeo, ambos recibirán alguna utilidad derivada de el hecho de que están juntos, pero uno de ellos disfrutará realmente la actividad. Por consiguiente, la descripción de este juego en forma estratégica es el siguiente:

En este caso, conocer la estrategia del rival no ayudará a decidir la estrategia a seguir, y existe la posibilidad de que no se pueda alcanzar un equilibrio. Esto se puede ver fácilmente mediante la búsqueda de una estrategia dominante, eliminando todas las estrategias dominadas. Sin embargo, habrá dos estrategias dominantes, dos equilibrios de Nash (subrayados en rojo). La manera de resolver este dilema es a través del uso de estrategias mixtas, en las que nos fijamos en la probabilidad de que nuestro oponente elija una u otra estrategia y valorar nuestros pagos dada esa probabilidad.

Las estrategias dominantes son consideradas como mejores que otras estrategias, sin importar lo que otros jugadores hagan. En la teoría de juegos, hay dos tipos de dominio estratégico:

-una estrategia estrictamente dominante es la estrategia que siempre proporciona una mayor utilidad a un jugador, independientemente de la estrategia del otro jugador;

-una estrategia débilmente dominante es la estrategia que proporciona al menos la misma utilidad para todas las estrategias del otro jugador, y estrictamente superior para alguna de sus estrategias.

Un equilibrio de estrategia dominante se alcanza cuando cada jugador elige su propia estrategia dominante. En el dilema del prisionero, la estrategia dominante para ambos jugadores es confesar, lo que significa que confesar-confesar es el equilibrio de estrategia dominante (rojo), aunque este equilibrio no es un equilibrio óptimo de Pareto (verde).

Debe tenerse en cuenta que cualquier equilibrio de estrategia dominante es siempre un equilibrio de Nash. Sin embargo, no todos los equilibrios de Nash son equilibrios de estrategias dominantes.

La eliminación de estrategias dominadas se utiliza comúnmente para simplificar el análisis de cualquier juego. La manera de proceder es eliminar para cada jugador cada estrategia que parece «irracional», lo que reducirá en gran medida el número de equilibrios. Este método es bastante fácil de usar cuando solo hay estrategias estrictamente dominadas, pero la eliminación de las estrategias débilmente dominadas puede ser problemática, lo que puede dar con un juego que no se parece al original desde un punto de vista estratégico.

Un buen ejemplo de eliminación de estrategias dominadas es el análisis de la Batalla del Mar de Bismarck. En este juego, como se representa en la matriz de juego adyacente, Kenney no tiene una estrategia dominante (la suma de las ganancias de la primera estrategia es igual a la suma de la segunda estrategia), pero los japoneses tienen una estrategia débilmente dominante, que es ir por el Norte (las ganancias son iguales para una estrategia pero estrictamente mejor para la otra). Dado que sólo uno de ellos tiene una estrategia dominante, no existe un equilibrio de estrategias dominantes. Por tanto, debemos continuar eliminando las estrategias dominadas. Como ya hemos mencionado, para los japoneses la estrategia ‘ir por el Norte’ domina débilmente estrategia de ‘ir por el Sur’. Por lo tanto, eliminamos la estrategia de ‘ir por el Sur’ para los japoneses, quienes irán por el Norte. Ahora que sólo tenemos en cuenta los japoneses yendo por el norte, la estrategia de Kenney ‘ir por el Norte’ es estrictamente dominante sobre la estrategia de «ir por el Sur ‘, que será eliminada. Por lo tanto, Norte-Norte es el equilibrio de dominación débil.

Sin embargo, como se mencionó antes, se puede ver fácilmente que el juego ha perdido su carácter estratégico.

Los equilibrios de Nash se definen como la combinación de estrategias tales que no hay ningún incentivo para que los jugadores se desvían de su elección. Esta será la mejor opción que un jugador puede tomar, teniendo en cuenta la decisión de los otros jugadores y donde un cambio en la decisión de un jugador sólo conducirá a un resultado peor si los otros jugadores se adhieren a su estrategia. Uno de los equilibrios de Nash más conocidos se encuentran en el dilema del prisionero. Este concepto pertenece a la teoría de juegos, específicamente para los juegos no cooperativos, y toma el nombre de John Nash que lo desarrolló en el siglo XX.

Hay unos pocos requisitos de coherencia que deben tenerse en cuenta cuando se trata de equilibrios de Nash. Uno de ellos es conocido como el conocimiento común, que complementa la necesidad de información completa. Por lo tanto, las expectativas sobre las estrategias de otros jugadores deben ser racionales.

Por tanto, un equilibrio de Nash es una combinación de creencias acerca de las estrategias y las opciones del otro jugador. Es bastante fácil entender esto con un ejemplo, en este caso el dilema del prisionero, representado en la siguiente matriz de juego:

El prisionero 1 (P1) tiene analizar lo que P2 se va a hacer, con el fin de elegir la mejor estrategia. Si P2 confiesa (P2_C), P1 obtendrá un pago de -8 o 0, y si miente (P2_M) obtendrá -10 o -1. Se puede ver fácilmente que P2 elegirá confesar, ya que le resulta más conveniente. Por lo tanto, P1 debe elegir la mejor estrategia dado que P2 elegirá a confesar: P1 puede confesar (P1_C, con un pago de -8) o mentir (P1_M, con un pago de -10). Lo racional para P1 es confesar. Procediendo a la inversa, se analizan las creencias que P2 tiene sobre las estrategias de P1, lo que nos lleva al mismo punto: lo racional para P2 es confesar. Por lo tanto, P1_C,P2_C es el equilibrio de Nash en este juego (subrayado en rojo).

Los equilibrios Nash se pueden utilizar para predecir el resultado de juegos finitos, siempre que exista tal equilibrio. Por otra parte, el equilibrio se puede encontrar utilizando el método de eliminación de las estrategias dominadas, lo que nos ayudará a encontrar el equilibrio de Nash mediante la exclusión de equilibrios de Nash ‘irracionales’.

Sin embargo, nos encontramos con el problema que surge cuando se trata de un equilibrio de Nash que no es ni social ni ético, y donde la eficiencia puede ser subjetiva, que es el caso en el dilema del prisionero. En este juego, el equilibrio de Nash no cumple con los criterios para ser óptimo de Pareto (subrayado en verde). Además, la posibilidad de equilibrios múltiples hacen que el resultado final del juego sea menos predecible.

El dilema del prisionero es probablemente el juego más utilizado en la teoría de juegos. Su uso ha trascendido la economía, ya que actualmente se utiliza en campos como administración de empresas, psicología, o biología. Apodado en 1950 por Albert W. Tucker, que lo desarrolló a partir de trabajos anteriores, describe una situación en la que dos prisioneros, sospechosos de robo, pasan a estar en custodia de la policía. Sin embargo, los policías no tienen suficientes pruebas para condenarlos de ese crimen, sólo para condenarlos por el cargo de posesión de bienes robados, que conlleva una pena mucho menor.

Si ninguno de ellos confiesa (cooperan entre sí), ambos serán sentenciados a la pena menor, un año de prisión cada uno. La policía los interrogará en salas de interrogatorio diferentes, lo que significa que los dos prisioneros no pueden comunicarse entre ellos (por lo tanto tendrán información imperfecta). La policía tratará de convencer a cada prisionero de que confiese el crimen, ofreciéndoles salir libres de inmediato, mientras que el otro prisionero será condenado a una pena de diez años. Si ambos prisioneros confiesan, cada preso será condenado a ocho años. A ambos prisioneros se les ofrece el mismo trato, ambos conocen las consecuencias de cada acción (información completa) y son completamente conscientes de que al otro prisionero se le ha ofrecido el mismo trato (por lo tanto la información es de conocimiento común).

Descripción:

Dado que los presos no pueden comunicarse y deberán (supuestamente) tomar su decisión al mismo tiempo, este se considera un juego simultáneo, y puede ser analizado utilizando la forma estratégica, como se muestra en la matriz de juego adyacente. Como se ha descrito antes, si los dos prisioneros confiesan el crimen se les condenará a una pena de ocho años cada uno. Si ninguno confiesa, se les condenará a un año cada uno. Si sólo uno confiesa, ese prisionero saldrá libre, mientras que el otro se condenará a diez años de cárcel. Estas pueden ser vistas como los pagos para cada conjunto de estrategias.

Eliminar todas las estrategias dominadas, con el fin de obtener la estrategia dominante, puede resolver este juego. Esto es, cada prisionero analizará su mejor estrategia dada las posibles estrategias del otro prisionero. El prisionero 1 (P1) tiene analizar lo que P2 se va a hacer, con el fin de elegir la mejor estrategia. Si P2 confiesa (P2_C), P1 obtendrá un pago de -8 o 0, y si miente (P2_M) obtendrá -10 o -1. Se puede ver fácilmente que P2 elegirá confesar, ya que le resulta más conveniente. Por lo tanto, P1 debe elegir la mejor estrategia dado que P2 elegirá a confesar: P1 puede confesar (P1_C, con un pago de -8) o mentir (P1_M, con un pago de -10). Lo racional para P1 es confesar. Procediendo a la inversa, se analizan las creencias que P2 tiene sobre las estrategias de P1, lo que nos lleva al mismo punto: lo racional para P2 es confesar. Por lo tanto, «confesar» es la estrategia dominante. P1_C,P2_C es el equilibrio de Nash en este juego (subrayado en rojo), ya que es el conjunto de estrategias que maximizan la utilidad de cada prisionero dada la estrategia del otro prisionero.

Los equilibrios Nash se pueden utilizar para predecir el resultado de juegos finitos, siempre que exista tal equilibrio. Sin embargo, nos encontramos con el problema que surge cuando se trata de un equilibrio de Nash que no es ni social ni ético, y donde la eficiencia puede ser subjetiva, que es el caso en el dilema del prisionero. En este juego, el equilibrio de Nash no cumple con los criterios para ser óptimo de Pareto (subrayado en verde).

Generalización del juego:

El dilema del prisionero no siempre se presenta como hemos visto en este caso. Los pagos para cada conjunto de estrategias pueden cambiar, dependiendo de cada persona. Sin embargo, hay algunas reglas que se pueden utilizar para construir un juego del dilema del prisionero «correcto».

En la matriz de juego adyacente hemos cambiado los pagos de cada jugador, con el fin de determinar las condiciones necesarias para diseñar el juego del dilema del prisionero. En el dilema del prisionero tradicional, tenemos: A> B> C> D (en términos absolutos). En nuestro ejemplo anterior, se cumple esta condición (A = 10, B = 8, C = 1 y D = 0). En todos los casos, A> B y C> D implica que confesar-confesar es un equilibrio de Nash.

Debe tenerse en cuenta que la simetría del juego no es la parte más importante del dilema del prisionero. Lo interesante de este juego es el hecho de que su equilibrio de Nash no es socialmente óptimo.

El dilema del prisionero repetido:

Con el fin de ver lo qué equilibrio se alcanza en un juego repetido de tipo dilema del prisionero, hay que analizar dos casos: cuando el juego se repite un número finito de veces, y cuando el juego se repite un número infinito de veces.

Cuando los presos saben el número de repeticiones, es interesante operar una inducción hacia atrás para resolver el juego. Hay que tener en cuenta las estrategias de cada jugador cuando se dan cuenta de que la próxima ronda va a ser la última. Se comportan como si se tratara de un juego de una única repetición, por lo tanto se aplica el equilibrio de Nash y el equilibrio será confesar-confesar, al igual que en el juego de una sola repetición. Consideremos ahora la penúltima ronda. Dado que cada jugador sabe que en la siguiente ronda (la última) ambos van a confesar, no hay ningún beneficio al mentir (cooperar entre sí) en esta ronda tampoco. La misma lógica se aplica para las rondas anteriores. Por lo tanto, confesar-confesar es el equilibrio de Nash para todas las rondas.

La situación con un número infinito de repeticiones es diferente. Puesto que no habrá última ronda, un razonamiento de inducción hacia atrás no funciona aquí. En cada ronda, los dos prisioneros calculan que habrá otra ronda y por lo tanto siempre hay beneficios derivados de la estrategia de cooperar (en la que ambos mienten). Sin embargo, los presos deben tener en cuenta las estrategias de castigo, en caso de que el otro jugador confiese en cualquier ronda.

Los juegos simultáneos son aquellos en los que las decisiones son simultáneas: tanto nosotros como el otro jugador elegimos al mismo tiempo. El ejemplo más sencillo de esto es probablemente ‘piedra, papel o tijera’. La información completa significa que sabemos lo que podemos ganar o perder: sabemos que piedra gana a las tijeras, y sabemos que esto nos dará algún tipo de utilidad. También sabemos que nuestro oponente tiene esta misma información, es decir, las reglas del juego y los pagos de cada jugador son de conocimiento común. Los juegos simultáneos se describen generalmente utilizando la forma estratégica (o normal).

Lo que esto significa es que sólo tenemos una oportunidad de hacer las cosas bien, pero podemos jugar de manera inteligente al saber lo que nuestro oponente va a hacer y actuar en consecuencia. Un equilibrio se alcanza cuando ambos jugadores toman una decisión racional que no les da ninguna razón para cambiar: cualquier otra estrategia hará que se vean perjudicados. Nuestra situación sólo puede mejorarse si nuestro oponente elige hacer otra cosa. Estos equilibrios son conocidos como equilibrios de Nash, nombre que se les da por John Nash, matemático y economista de mediados del siglo XX. El ejemplo más famoso de esto se conoce como el dilema del prisionero.

En este juego, dos prisioneros son encerrados en celdas separadas en las que no tienen ninguna posibilidad de comunicarse (información imperfecta). Ambos tienen la misma información (completa), que se resume en la matriz de juego siguiente:

En este ejemplo, los resultados representados son años de libertad perdidos. Si los dos prisioneros confiesan, ambos van a recibir una condena de 8 años. Sin embargo, si ninguno confiesa, las penas tendrán que ser reducidas y ambos recibirán penas bajas. Si uno confiesa y el otro no, sólo uno recibirá castigo. Obviamente, el mejor resultado social es no confesar, lo que sería la situación óptima de Pareto. Sin embargo, podemos ver que esto no es un equilibrio estable. Ambos prisioneros tienen un incentivo para confesar: si somos el prisionero 2 (el jugador vertical) y suponemos que el prisionero 1 va a confesar, tenemos dos resultados posibles: -8 si confesamos y -10 si mentimos. Si asumimos que prisionero 1 va a mentir, de nuevo tenemos dos resultados: 0 si confesamos o -1 si mentimos. Esto significa que, independientemente de la elección de nuestro oponente, siempre tenemos un incentivo para decir la verdad. Porque sabemos esto, elegiremos confesar y, debido a que nuestro oponente está en la misma situación, lo más probable es que haga lo mismo. Una vez en este equilibrio, ningún jugador tiene un incentivo para cambiar de estrategia. Esto significa que tenemos un claro equilibrio de Nash, aquel en el que ambos jugadores confiesan.

El proceso que acabamos de seguir para llegar a esta conclusión se basa en la búsqueda de una estrategia dominante (confesar) que siempre vence a la alternativa bajo cualquier elección que el otro jugador haga (si nuestro oponente confiesa o miente). Esto nos permite descartar la estrategia dominada. En los juegos estáticos, podemos tener un sinnúmero de opciones, pero esta estrategia racional nos permitirá ver nuestras opciones con mayor claridad y eliminar opciones indeseables en una forma sistemática.

Lo que este proceso y los equilibrios de Nash no permiten en ciertos casos es alcanzar óptimos sociales. El óptimo social en este caso sería que ambos jugadores mientan: ambos estarían libres en el plazo de un año. Pero la teoría de juegos nos dice que las ineficiencias sociales son comunes cuando las estrategias dominantes no son para el bien común.

En la teoría de juegos, la forma estratégica (o forma normal) es una forma de describir un juego usando una matriz. El juego se define poniendo a cada lado de la matriz de los diferentes actores (en este caso los jugadores 1 y 2), cada una de las estrategias o de elecciones que pueden tomar (en este caso las estrategias A y B) y los conjuntos de beneficios que cada uno recibirá dada una de las estrategia (p_1A, p_2A ; p_1A,p_2B ; p_1B,p_2A ; p_1B,p_2B).

La forma estratégica nos permite analizar rápidamente cada posible resultado de un juego. Por ejemplo, en la matriz adyacente, si el jugador 1 elige la estrategia A y el jugador 2 elige la estrategia B, el conjunto de pagos sería p_1A, p_2B. Si el jugador 1 elige la estrategia B y el jugador 2 elige la estrategia A, el conjunto de pagos sería p_1B, p_2A.

La forma estratégica es por lo general la descripción correcta para juegos simultáneos, donde ambos jugadores eligen de forma simultánea. Por otro lado, para los juegos secuenciales es mejor describir el juego usando la forma extensiva (o en forma de árbol). Vale la pena mencionar que los juegos simultáneos implican que existe información completa e imperfecta, y las reglas del juego, así como los pagos de cada jugador, son de conocimiento común.

Un ejemplo bien conocido de un juego simultáneo descrito usando de forma estratégica es el dilema del prisionero, en el que dos prisioneros deben decidir si están dispuestos a confesar un delito o mentir sobre ello. En este juego, los pagos son valores negativos, ya que representan años de prisión. Si ambos confiesan, recibirán 8 años de condena cada uno, si ambos cooperan entre sí y se mienten sobre el crimen, obtendrán 1 año cada una. Sin embargo, si uno de ellos confiesa mientras que el otro no, obtendrán sentencias muy diferentes: el que confesó saldrá libre, mientras que al otro se le sentencia a10 años. La eliminación de las estrategias dominadas nos muestra que confesar-confesar es un equilibrio de Nash.

Aunque no sea muy común, los juegos secuenciales también pueden describirse utilizando la forma estratégica. Veamos el siguiente ejemplo: el jugador 1 tiene que decidir entre ir hacia arriba o hacia abajo (arriba / abajo), mientras que el jugador 2 tiene que decidir entre ir a la izquierda o a la derecha (I / D). En este caso, podemos representar este juego usando la forma estratégica por la que se establecen todas las posibles estrategias para el jugador 2:

-ir a la derecha si el jugador 1 va para arriba, ir a la izquierda de otro modo;

-ir a la izquierda si el jugador 1 va para arriba, ir a la derecha de otro modo;

-ir a la derecha sin importar qué haga el jugador 1;

-ir a la izquierda sin importar qué haga el jugador 1.

Podemos ver cómo este juego es ilustrado con la forma extensiva (árbol de juego a la izquierda) y el uso de la forma estratégica (matriz de juego de la derecha). Dado que este es un juego secuencial, debemos describir todos los resultados posibles en función de las decisiones del jugador 2, como se ve en la matriz de juego. Hay un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (verde) y un equilibrio de Nash imperfecto en subjuegos (rojo).

En la teoría de juegos, la forma extensiva es una forma de describir juegos utilizando un árbol de juego (o árbol de decisión). Es simplemente un diagrama que muestra las decisiones que los jugadores toman en diferentes puntos en el tiempo (que corresponde a cada nodo). Los pagos finales del juego están representados en el extremo de cada rama. Dado que la forma extensiva representa decisiones en diferentes momentos, se utiliza generalmente para describir juegos secuenciales, mientras que los juegos simultáneos se describen normalmente usando la forma estratégica. Puesto que los juegos secuenciales implican la toma de decisiones en diferentes momentos para cada jugador, la información es perfecta, ya que cada jugador puede ver la decisión tomada por el jugador anterior. La información también es completa, y las reglas del juego y los pagos de cada jugador son conocimiento común.

El diagrama adyacente representa un árbol de juego en el que podemos ver cómo el jugador 1 es el primero en decidir, mientras que el jugador 2 tomará una decisión después de observar lo que el jugador 1 ha decidido. Los pagos representados al final de cada rama representan todos los posibles resultados. Por ejemplo, si el jugador 1 elige la estrategia A y el jugador 2 elige la estrategia B, el conjunto de pagos será p_1A, p_2B.

Un buen ejemplo de juego secuencial descrito con la forma extensiva se da a la hora de considerar los acuerdos de colusión, como se muestra en el segundo árbol de juego.

Dos empresas se reparten el mercado, coludiendo y manteniendo los precios altos. Cada empresa puede decidir dejar de coludir e iniciar una guerra de precios, con el fin de aumentar su cuota de mercado, incluso forzar a la otra a salir del mercado. La empresa 1 puede seguir coludiendo con la empresa 2, o iniciar una guerra de precios. Si la empresa 1 decide mantener el acuerdo de colusión, la empresa 2 tendrá que tomar una decisión. Si ambos están de acuerdo en seguir coludiendo, que recibirán 5,5. Sin embargo, si uno de ellos decide iniciar una guerra de precios, el conjunto de pagos será 4,3 o 3,4, dependiendo de qué jugador inicie la guerra (y por lo tanto, adquiera una mayor cuota de mercado). Es fácil ver que coludir-coludir es a la vez el equilibrio de Nash y una situación óptima de Pareto. Este resultado puede cambiar a la hora de considerar juegos repetidos.

Vale la pena mencionar que la forma extensiva se puede utilizar también para describir juegos simultáneos, mediante el uso de conjuntos de información, como se muestra en el tercer diagrama. Estos conjuntos de información, por lo general representados por una línea discontinua que une dos nodos o rodeándolos, significan que el jugador no sabe en qué nodo está, lo que implica una información imperfecta, al igual que cuando se utiliza la forma estratégica.

La perfección de la información es un concepto importante en teoría de juegos al considerar juegos secuenciales y simultáneos. Es un concepto clave al analizar la posibilidad de estrategias de castigo en los acuerdos de colusión.

La información perfecta se refiere al hecho de que cada jugador tiene la misma información que estaría disponible al final del juego. Es decir, cada jugador sabe o puede ver los movimientos de otros jugadores. Un buen ejemplo sería el ajedrez, donde cada jugador ve las piezas del otro jugador en el tablero.

La información imperfecta aparece cuando las decisiones tienen que hacerse simultáneamente, y los jugadores necesitan analizar todos los posibles resultados a la hora de tomar una decisión. Un buen ejemplo de juegos de información imperfecta es un juego de cartas donde las cartas de cada jugador están escondidas del resto de los jugadores.

El conocimiento común es una condición requerida generalmente en teoría de juegos, por la que el modelo está completamente especificado y su análisis se lleva a cabo de forma coherente. Complementa la noción de información completa, que requiere que todos los jugadores conozcan las reglas del juego y la función de utilidad de cada uno. De hecho, se debería requerir que todos los jugadores sean conscientes de este hecho; es decir, todos los jugadores deben ser conscientes de la conciencia de los otros jugadores en cuanto a las reglas y funciones de utilidad de cada uno. Además, cada jugador debe ser consciente de que cada jugador es consciente que cada jugador es consciente, y así sucesivamente. En definitiva, el conocimiento acerca de la descripción de un juego debe ser parte de esa descripción.

Esta condición implica que cada jugador será completamente racional, entendiendo como agentes racionales, los que forman y adaptan sus expectativas como expectativas racionales. También implica que cada jugador tendrá que tomar en consideración cómo otros jugadores enfrentan sus problemas de maximización, con el fin de tomar decisiones racionales. Por lo tanto, el conocimiento común es el punto de partida de los equilibrios de Nash.

La información completa y la información incompleta son términos ampliamente utilizados en economía, especialmente en teoría de juegos y en economía del comportamiento. Decimos que hay información completa cuando cada agente conoce la función de utilidad de los otros agentes y las reglas del juego. Como Luce y Raiffa dijeron en su “Games and Decisions: Introduction and Critical Survey” (Juegos y decisiones: introducción y revisión crítica), 1957, la información completa, entendida como la situación donde “cada jugador es totalmente consciente de las reglas del juego y de las funciones de utilidad de cada uno de los jugadores”, es una suposición central de la teoría de juegos. Sin embargo, esta situación y su definición no consideran la conciencia de cada jugador, que está cubierta por el término conocimiento común, que significa que cada jugador es consciente de que los otros jugadores conocen las reglas y cada función de utilidad.

La información incompleta, también conocida como información asimétrica, se refiere por el contrario a una situación en la que no todos los jugadores conocen las funciones de utilidad de los demás. John Harsanyi desarrolló la teoría de la información incompleta en su “Games with Incomplete Information Played by ‘Bayesian’ Players” (Juegos con información incompleta jugados por jugadores ‘Bayesianos’), publicado en 1967.