Teoría de juegos III: Duopolio de Cournot

El duopolio de Cournot, también conocido como modelo de competencia de Cournot, es un modelo de competencia imperfecta en el que dos empresas con funciones de costes idénticas compiten con bienes homogéneos en un entorno estático. Fue desarrollado por Antoine A. Cournot en su obra “Researches Into the Mathematical principles of the Theory of Wealth” (Investigaciones acerca de los principios matemáticos de la teoría de las riquezas), de 1838. El duopolio de Cournot representa el comienzo del estudio de los oligopolios, en concreto los duopolios, y extiende el análisis de las estructuras de mercado el cual, hasta entonces, se había concentrado en los extremos de la competencia perfecta y los monopolios.

Cournot realmente inventó el concepto de teoría de juegos casi 100 años antes de John Nash, cuando trató el caso de cómo las empresas se comportarían en el caso de duopolios. Existen dos empresas operando en un mercado limitado. La producción del mercado es igual a P(Q)=a-bQ, y donde Q=q₁+q₂ para las dos empresas. Ambas empresas recibirán unos beneficios derivados de una toma de decisión simultanea hecha por ambas sobre cuánto producir, y también basada en su función de costes: CT_i=C-q_i.

De forma algebraica:

Con el fin de maximizar, la condición de primer orden será:

Y si, q_i=q_j, entonces ambas son iguales a:

Por ello, las funciones de reacción (líneas azules), donde la variable clave es el precio fijado por la otra empresa, tomarán la siguiente forma:

Lo que todo esto contempla y explica es un principio muy básico. Ambas empresas luchan por conseguir los máximos beneficios. Estos beneficios derivan del volumen máximo de ventas (una porción mayor de la cuota de mercado) y precios más altos (beneficios mayores). El problema reside en el hecho de que el incremento de los beneficios mediante mayores precios puede perjudicar a los ingresos debido a la pérdida de cuota de mercado.
Cournot enfoca esto mediante la maximización de la cuota de mercado y los ingresos definiendo el precio óptimo. Este precio óptimo será el mismo para ambas empresas, ya que de otra manera la empresa con el precio más bajo se hará con todo el mercado, lo que hace de esto un equilibrio de Nash, también conocido en este modelo como el equilibrio de Cournot-Nash.

Si consideramos las curvas de isobeneficios, aquellas que muestran las combinación de las cantidades que proporcionarán los mismos beneficios a la empresa (curvas rojas), podemos observar que el equilibrio del juego no es Pareto eficiente, debido a que las curvas de isobeneficios no son tangentes. El resultado se encuentra por debajo del de la competencia perfecta y por tanto no es socialmente óptimo, pero es mejor que el resultado bajo monopolio.

Extendiendo el modelo a más de dos empresas, podemos observar que el equilibrio del juego se acerca al resultado de la competencia perfecta debido a que el número de empresas aumenta, decreciendo por tanto la concentración del mercado.

Comparativa con el duopolio de Stackelberg:

-El modelo de Cournot es un juego simultáneo, mientras que el de Stackelberg es un juego secuencial;

-En el duopolio de Cournot la cantidad vendida es la misma en ambas empresas, mientras que el duopolio de Stackelberg, la cantidad vendida por el líder es mayor que la del seguidor;

-Cuando comparamos la cantidad producida y el precio del bien para cada empresa, tenemos que:

Líder: q^S₁ > q^C₁ and π^S₁ > π^C₁

Seguidor: q^S₂ < q^C₂ and π^S₂ < π^C₂

-Con respecto al total de lo producido y a los precios, tenemos que:

Q_M < Q_C < Q_S < Q_CP

P_M > P_C > P_S > P_CP = CMg

con:

Q_C: cantidad total con Cournot
Q_S:cantidad total con Stackelberg
Q_CP: cantidad total con competencia perfecta
Q_M: cantidad total con monopolio
P_C: precio con Cournot
P_S: precio con Stackelberg
P_PC: precio con competencia perfecta
P_M: precio con monopolio
CMg: marginal cost