METER FORMULAS
En el campo de la economía, la función lagrangiana es usada para resolver problemas de optimización. Es designada tras el nombre del matemático y astrónomo italo-francés, Joseph Louis Lagrange. El método de los multiplicadores de lagrange es usado para derivar un máximo o mínimo local en una función sujeta a ciertas restricciones.
La existencia de restricciones en problemas de optimización afecta al valor del óptimo de la función ya que implica una reducción del espacio de soluciones. El método de los multiplicadores de lagrange es precisamente usado para medir como la correspondiente restricción afecta al valor del óptimo. En otras palabras, miden el grado de respuesta al problema de cambio del óptimo debido a cambios en las restricciones.
Matemáticamente, es igual a la primera derivada parcial de la función objetivo con respecto a la restricción, multiplicado por un escalar lambda, que es una variable adicional que ayuda a ordenar la ecuación.
Consideremos el siguiente problema de optimización:
El objetivo es maximizar (o minimizar) una función con varias variables
Sometidas a la restricción
E introducimos la función lagrangiana,
La optimización con restricciones juega un papel fundamental en la economía. Por ejemplo, el problema de la selección del consumidor puede ser representado fijando un presupuesto y obteniendo su máxima utilidad (demanda primaria) o estableciendo un cierto nivel de utilidad y minimizando el coste (demanda dual). Otros ejemplos incluyen la maximización de beneficios junto con varias aplicaciones macroeconómicas. De manera similar, la decisión de la cantidad de recursos a utilizar por la empresa tiene una naturaleza dual. Esto es, debe encontrar el nivel óptimo de producción dados los recursos disponibles (minimizar costes) o, dado cierto presupuesto, resolver la distribución de recursos que resulte en la mayor producción (maximizar la producción).