Teoría de juegos III: Juegos repetidos

En la teoría de juegos, los juegos repetidos, también conocidos como superjuegos, son los que se juegan y otra vez por un período de tiempo, y por lo tanto generalmente se representan usando la forma extensiva. A diferencia de los juegos de un solo turno, los juegos repetidos introducen una nueva serie de incentivos: la posibilidad de cooperar entre jugadores para recibir unos pagos continuamente, sabiendo que si no mantenemos nuestra parte del trato, nuestro oponente puede decidir dejar de cooperar. Nuestra oferta de cooperación o nuestra amenaza de dejar de cooperar tiene que ser creíble para que nuestro oponente mantenga su parte del trato. Analizar si el acuerdo es creíble consiste simplemente en analizar que tiene un valor superior: la recompensa que ganamos si rompemos nuestro pacto en un momento dado, lo que conlleva una ganancia excepcional durante el turno en el que se rompe el acuerdo, o continuar la cooperación con rentabilidades inferiores, pero que se dan durante todos los turnos. Por lo tanto, cada jugador debe tener en cuenta las posibles estrategias de castigo de su oponente.

Esto significa que el universo de estrategias es mayor que en cualquier juego simultáneo o secuencial de una sola jugada. Cada jugador va a determinar sus estrategias o movimientos teniendo en cuenta todos los movimientos anteriores hasta ese momento. Además, dado que cada jugador tendrá en cuenta esta información, van a jugar el juego basándose en el comportamiento del oponente, y por lo tanto deben tener en cuenta también los posibles cambios en el comportamiento del oponente a la hora de tomar decisiones.

Los juegos repetidos proporcionan diferentes beneficios en cada repetición, dependiendo de la estrategia de cada jugador. Dado que estos beneficios se dan en diferentes puntos en el tiempo, con el fin de analizar los juegos repetidos, hay que comparar la suma de los pagos descontados de cada jugador, que para las repeticiones infinitas y repeticiones finitas se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

Dónde:

-P: suma descontada de pagos;

-t: número de la repetición en la que el juego está;

-n: número total de repeticiones (juegos repetidos finitos);

-p_t: el pago en la repetición en la que el juego está;

-r: la tasa de descuento.

Dilema del prisionero repetido:

En el juego conocido como el dilema del prisionero, el equilibrio de Nash es confesar-confesar. Con el fin de ver lo qué equilibrio se alcanza en un juego repetido de tipo dilema del prisionero, hay que analizar dos casos: cuando el juego se repite un número finito de veces, y cuando el juego se repite un número infinito de veces.

Cuando los presos saben el número de repeticiones, es interesante operar una inducción hacia atrás para resolver el juego. Hay que tener en cuenta las estrategias de cada jugador cuando se dan cuenta de que la próxima ronda va a ser la última. Se comportan como si se tratara de un juego de una única repetición, por lo tanto se aplica el equilibrio de Nash y el equilibrio será confesar-confesar, al igual que en el juego de una sola repetición. Consideremos ahora la penúltima ronda. Dado que cada jugador sabe que en la siguiente ronda (la última) ambos van a confesar, no hay ningún beneficio al mentir (cooperar entre sí) en esta ronda tampoco. La misma lógica se aplica para las rondas anteriores. Por lo tanto, confesar-confesar es el equilibrio de Nash para todas las rondas.

La situación con un número infinito de repeticiones es diferente. Puesto que no habrá última ronda, un razonamiento de inducción hacia atrás no funciona aquí. En cada ronda, los dos prisioneros calculan que habrá otra ronda y por lo tanto siempre hay beneficios derivados de la estrategia de cooperar (en la que ambos mienten). Sin embargo, los presos deben tener en cuenta las estrategias de castigo, en caso de que el otro jugador confiese en cualquier ronda.

Juegos de acuerdo de colusión:

Si suponemos que el juego se puede jugar hasta el infinito, podemos asemejarlo a un juego de acuerdo colusión, donde dos empresas se ponen de acuerdo, formando un cártel. Consideremos dos empresas (un duopolio) que pueden comportarse como duopolistas de Cournot obteniendo unas ganancias π_Cournot cada uno, o actuar como un cártel, ganando π_Cártel cada uno, que se corresponden con los beneficios de un monopolio divididos en el número de empresas que coluden (dos en nuestro ejemplo).

En este caso, simplemente hay que aplicar la fórmula para el cálculo de una secuencia infinita y un factor de descuento para compensar el hecho de que las ganancias que se derivan son a lo largo del tiempo (teniendo en cuenta la impaciencia, la inflación, pérdida de interés, etc.):

El lado izquierdo representa la ganancia derivada de la colusión, la cual se puede mantener infinitamente a lo largo del tiempo, con δ como factor de descuento para descontar beneficios futuros hasta el presente. Para que las amenazas u ofertas de cooperación sean creíbles, este lado de la fórmula debe ser mayor que el lado derecho, que representa los pagos que se pueden obtener de la desviación, rompiendo el cártel. Cuanto mayor sea δ, mayor es el valor asignado a las ganancias futuras, y por lo tanto mayores serán las posibilidades de colusión. Vale la pena recordar aquí que la competencia leal está regulada en casi todos los países, dónde los cárteles están prohibidos, por lo que la mayoría de los mercados que se prestan a la reducción de la competencia y la fijación de precios son vigilados de cerca por los gobiernos.

Aunque este ejemplo se utiliza ampliamente en la teoría de juegos y para el análisis de estructuras de mercado, se puede ver fácilmente que no representa una situación real. Consideremos el mismo ejemplo: cualquiera de las empresas en colusión podría desviarse, con el fin de ofertar más en el mercado a precios más bajos, con el fin de ganar cuota de mercado. Esta medida permitiría que la empresa pudiera vender más productos que las otras empresas, lo que contradice directamente la premisa de Cournot de que cada duopolista producirá la misma cantidad. Por lo tanto, teniendo en cuenta un duopolio de Stackelberg podría parecer más realista. Esto, evidentemente, modifica el análisis y el resultado del juego.